π'nin Kısa Tarihi Üzerine...

Her sene Mart'ın 14'ü π günü olarak kutlanıyor. π'nin ilk 3 hanesi referans alınarak bu tarih seçilmiş. Ama 22/7'i referans alanlar da var. Yani Temmuz 22. Aslında bu tarih daha hassas. π değerinden büyük olmasına rağmen hata % 0.04 iken, 3.14 aldığınızda hata % 0.05 oluyor. Dolayısıyla Temmuz 22, π değerine 3.14'ten daha yakın.

 

Nedir bu sayı, niye bu kadar merak ediliyor? Bir dairenin çapına oranı bu sayıyı veriyor. Tarihte nerdeyse 1900 yıl Arşimet sabiti olarak bilindi ve kullanıldı. Özelliği ise irrasyonel olması. Yani a/b şeklinde yazılamıyor. Bu ne demek? Kesirli kısım ne bitiyor, ne de bir deseni takip ediyor. 1/3 mesela 0.333.... (sonsuza kadar) şeklinde bir sayıdır. Sonunu biliyoruz. Ama π sayısının sonu yok. Halbuki π, sonlu bir sayı. Yani, 4'ten küçük. π sayısı ayrıca transandantal bir sayıdır. Yani bir polinomun kökleri hiç bir zaman π çıkmaz. e sayısı da böyledir.

 

π’nin kendisi temel fiziksel sabit olarak kabul edilmez ama birçok sabitin içinde vardır. Mesela biz elektromağnetikçilerin kullandığı boşluğun geçirgenlik değeri (permeability of free space) 4π×10-7 H/m'dir.

 

Hassasiyet değerini yapacağımız uygulamaya göre istediğimiz şekilde alırız. Ortaokul talebeleri için basit olsun diye π’yi 3 alıp geçeriz. Bu durumda gerçek değerden yaklaşık %4.5 hata yapmış oluruz. π’yi 3.14 alsaydık % 0.05 hata yapmış olacaktık. 3.14159 aldığımızda ise % 0.0000844 kadar hata yapmış olurduk.

 

100 metrelik çember bir sahanın çevresini demir çit ile çevireceğiz diyelim. π’yi 3.14159 alsaydık milimetrenin yarısı kadar hata yapmış olacaktık. Çok daha uç bir örnek verelim. Voyager-1 uydusu 1977'de fırlatıldı ve 44 yıldır yolda. Gittiği mesafe yaklaşık 20 milyar km. π’yi gerçek değeri ile 16 haneli alarak hesaplamak arasındaki fark 1 cm'den küçük çıkacaktı. Dünya büyüklüğünde bir çember için hata tipik bir molekülün kinetik çapının 10 katı kadar olacaktı. Bütün evren büyüklüğünü düşündüğümüzde (yarıçapı 46 milyar ışık yılı alırsam) ve 39 haneli bir π sayısı kullanmış olsaydım, hata bir hidrojen atomunun çapından daha küçük çıkacaktı.  

 

Ben doktora tezimde elektromağnetik dalgaları hesaplarken 15 haneyi almıştım. Astronomlar da 15 veya 16 haneyi kullanıyor. 32 hane kullanan yerler de varmış.

 

Eskiler niye bu kadar farklı π sayısı buldular. Hassasiyet niye azdı? Çünkü ellerinde bir cetvel, kalibre edilmiş bir mezura veya bir pergel yoktu. Ulusal metroloji enstitüsü veya standartlar enstitüsü de yoktu. Bir iki tahtadan alet bir de ip vardı.

 

Kısaca π tarihinden bahsedelim:

Not: Aşağıda verilen sayılarda virgül (,) binlik basamakları ayırmak için, nokta (.) ise kesirli kısmı ayırmak için kullanıldı.

 

Milattan Önce:

MÖ. 2000 yılları civarında Babiller π sayısını 3 1/8 alarak kullandılar.

MÖ. 2000 yılları civarında Mısırlılar π = 4×(8/9)2 = 3.1605 şeklinde aldılar.

MÖ. 12. yy.: Çinliler π'yi 3 aldılar.

MÖ. 380: Hindu astronomlar π = 3 177 / 1250 = 3.1416 olarak aldılar.

MÖ. 550 civarı: Eski Ahit’te Süleyman (aleyhisselam)’ın anlatıldığı bir ayette  π değeri yaklaşık 3 alınmış. (1 Kings vii, 23).

MÖ. 440 civarı: Eski Yunan matematikçi Hipokrat (Chios adasında doğan) yarımayın karesini aldı.

MÖ. 434 civarı: Anaxagoras dairenin karesini bulmaya çalıştı.

MÖ. 430 civarı: Antiphon tükenme ilkesini iddia etti.

MÖ. 420 civarı: Hippias quadratrix'i keşfetti. Bir açıyı çetvel ve pusula kullanarak 3'e nasıl böleriz?

MÖ. 335 civarı: Dinostratos quadratrix’i kullanarak dairenin karesini aldı.

MÖ. 3. yy. Arşimet π’yi belli bir aralığa sıkıştırdı. 3 10/71 < π < 3 1/7 ve π’yi yaklaşık 211875/67441 = 3.14163 aldı. Arşimet kendi ismiyle bilinen Arşimet sarmalını (Archimedian Spiral) kullanarak daireyi düzeltti.

MÖ. 225 civarı: Appolonius, Arşimet’in bulduğu değeri daha da iyileştirdi.

Milattan Sonra:

2. yy. Batlamyus (Ptolemy) π için 3 17/120 = 3.14167 değerini kullandı.

3. yy. Chung Hing π'yi 10 olarak aldı. π = 10 = 3.16..

Wang Fau ise π = 142/45 = 3.1555 olarak aldı.  

263: Liu Hui π = 157/50 = 3.14

5. yy. Tsu Chung-Chi 3.1415926 < π < 3.1415927. Bu değeri Avrupa 16. yy’a kadar bilmiyordu.

500 civarı: Aryabhatta π = 62832/2000 = 3.1416

6. yy. Brahmagupta π = 10 = 3.16...

1220: Pisa'lı Leonardo (Fibonacci diye bilinir) π'yi 3.141818 olarak buldu.

1436: Uluğ Bey döneminde yaşamış Semerkand'lı El Kâşî π'yi 14.ncü haneye kadar hesapladı.

1450: Cusanus yay boyunu tahmin eden hesabı yaptı.

1573: Valentinus Otho π = 355/113 = 3.1415929

1583: Simon Duchesne π = (39/22)2 = 3.14256...

1593: François Viete π'yi sonsuz irrasyonel bir çarpım olarak gösterdi.

1593: Adriaen van Roomen π'yi 15 haneye kadar hesapladı.

1596: Ludolph van Ceulen π'yi önce 32 haneye kadar sonra 35 haneye kadar hesapladı.

1621: Snellius Arşimet metodunu düzeltti.

1654: Huygens Snellius'un düzeltmesini ispat etti.

1655: Wallis π'nin sonsuz oranların çarpımını yazdı. Brouncker ise sürekli kesir haline getirdi.

1665 – 1666: Newton Kalkülüsü geliştirdi ve π'yi 16 basamağa kadar hesapladı. Ancak 1737 yılına kadar yayınlanmadı.

1671: Gregory arktanjant (arctangent) serilerini buldu.

1674: Leibniz π'nin arktanjant serilerini buldu.

1705: Sharp π’yi 72 haneye kadar hesapladı.

1706: Machin π’yi 100 haneye kadar hesapladı.

1706: Jones π için Greek alfabesindeki harfi kullandı.

1719: De Lagny π’yi 127 haneye kadar hesapladı.

1748: Euler, Euler teoreminin ve π ve π2 nin olduğu birçok seriyi barındıran bir kitap yayınladı:  Introductio in Analysin in Infinitorum.

1755: Euler çok hızlı yakınsayan arktanjant (arctangent) serilerini buldu.

1766: Lambert π’nin irrasyonel olduğunu ispatladı.

1775: Euler π transandantal (transcendental) bir sayı olduğunu ileri sürdü.

1794: Legendre π ve π2’nin irrasyonel olduğunu ispat etti.

1794: Vega π’nin 140 basamağını hesap etti.

1840: Liouville transandantal sayıların varlığını ispat etti.

1844: Strassnitzky ve Dase π’nin 200 hanesini buldu.

1855: Richter π’yi 500 haneye kadar hesapladı.

1873: Hermite e sayısının transandantal olduğunu ispatladı.

1873-74: Shanks π’yi 707 haneye kadar hesapladı.

1882: Lindemann π’nin transandantal olduğunu ispatladı.

1945: Ferguson Shanks'in 527'nci hane ve sonrasındaki hatasını farketti.

1946: Ferguson 620 haneyi hesapladı.

1947: Ferguson 808 haneyi masa hesap makinesi kullanarak hesapladı.

1949: ENIAC bilgisayarı 2,037 haneyi hesaplamak için programlandı.

1954-1955: NORC bilgisayarı 3,089 haneyi hesaplamak için programlandı.

1957: Londra'daki Pegasus bilgisayarı 7,480 haneyi hesaplamak için programlandı.

1959: Paris'teki IBM 704 bilgisayarı 16,167 haneyi hesaplamak için programlandı.

1961: Daniel Shanks ve John W. Wrench π’yi hesaplayan bilgisayar programını iyileştirdiler ve New York’ta IBM merkezinde bulunan IBM 7090'ı kullanarak 100,000 haneyi hesapladılar.

1966: Paris’te Atom Enerjisi Komisyonunda bulunan IBM 7030 250,000 haneyi hesapladı.

1967: Paris aynı yerde bulunan CDC 6600 bilgisayarı 500,000 haneyi hesapladı. 28 saat sürdü.

Benim doğduğum yıl 1974'e gelindiğinde 1 milyonuncu hane hesaplanmıştı. En son güçlü bilgisayarlar ve algoritmalar kullanılarak bulunan hane sayısı 31 trilyonuncu hanedir.

 

π’nin haneleri içinde doğum tarihimizi, telefon numaramızı bulabiliriz. Hangi hanesinde varız, merak ediyorsanız www.mypiday.com adresine bakın.

 

Matematik bir sevdadır. Bugün için π günümüz kutlu olsun…! Bir de Temmuz’da kutlarız.

 

Yararlanılan Kaynak: A History of π by Petr Beckmann. St. Martin’s Press, 1976.

Önceki ve Sonraki Yazılar

YAZIYA YORUM KAT

UYARI: Küfür, hakaret, rencide edici cümleler veya imalar, inançlara saldırı içeren, imla kuralları ile yazılmamış,
Türkçe karakter kullanılmayan ve büyük harflerle yazılmış yorumlar onaylanmamaktadır.
1 Yorum